BiografíA De Euclides De AlejandríA
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sábado, 31 de octubre de 2009
lunes, 26 de octubre de 2009
Econometria Jose Nieves
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martes, 20 de octubre de 2009
Analisis Factorial Paquito
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miércoles, 13 de mayo de 2009
Intervención de la estadística para resolver problemas relacionados al censo animal y vegetal en peligro de extinción
La estadística en conservación de las especies en peligro de extinción
jueves, 30 de abril de 2009
Salud Publica
La salud publica es un tema de interes mundial.
Salud Publica
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domingo, 1 de marzo de 2009
Conceptos Geometrico
Conceptos Geométricos
Definiciones:
ángulo = son dos rayos con un vértice en común.
cuadrado = un rectángulo con cuatro lados congruentes.
geometría = es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, como lo son el punto, la recta, el rayo, etc.
punto = elemento geométrico de dimensión cero que se representa gráficamente mediante un punto de tamaño pequeño
recta = se extiende indefinidamente en ambos sentidos y no tiene grosor ni ancho
segmento = parte de una recta que consiste de dos puntos, llamados extremos y de todos los puntos que están entre ellos
triangulo = la unión de tres segmentos determinados por tres puntos no colineales
circulo = el conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia fija de un punto dado en el plano
cuadrilátero = la unión de cuatro segmentos determinados por cuatro puntos de los cuales no hay tres que sean colineales
plano = superficies planas que se extienden indefinidamente en todas direcciones y que no tiene grosor
rayo = línea que tiene principio y no tiene fin
octágono = un polígono con ocho lados
rombo = un paralelogramo con cuatro lados congruentes
trapecio = un cuadrilátero con exactamente un par de lados congruentes
vértice = en donde se unen dos rayos no colineales
polígono = la unión de segmentos que se tocan solo en los extremos
rectas que se cortan = dos rectas con un punto en común
rectas paralelas = rectas en un mismo plano y que no se intersecan
rectas perpendiculares = dos rectas que al intersecarse forman ángulos rectos
ángulo agudo = un ángulo que mide menos de 90 grados
ángulo recto = un ángulo que mide 90 grados
ángulo llano = un ángulo que mide 180 grados
ángulo obtuso = un ángulo que mide mas de 90 grados
ángulos correspondientes = cuando dos líneas son cruzadas por otra línea (a la cual se la conoce como Transversal), los ángulos la misma posición son llamados ángulos correspondientes
ángulos adyacentes = Dos ángulos son Adyacentes si tienen un lado común y un vértice común
ángulos opuestos por el vértice = dos ángulos no adyacentes formados por dos rectas que se intersecan
ángulos alternos internos = dos ángulos interiores con diferentes vértices en lados opuestos de una transversal
ángulos alternos externos = dos ángulos exteriores con diferentes vértices en lados opuestos por una transversal
poliedro = un sólido con lados planos
prisma = un poliedro tal que 1) hay un par de caras congruentes que están en planos paralelos 2) todas las demás caras son paralelogramos
pirámide = un poliedro en el cual todas las caras, menos una, tienen un vértice en común
cubo = cubo es un objeto sólido en forma de caja que tiene seis caras cuadradas idénticas
cono = un objeto sólido que tiene una base circular y un solo vértice
cilindro = un cilindro es un sólido con: 1) dos extremos planos circulares o elípticos idénticos 2) y un lado curvo.
esfera = un objeto tridimensional con la forma de una pelota.
volumen = una medida de la cantidad de espacio que ocupa un sólido, a cada sólido se asigna un numero real positivo único que es su volumen
área = el numero de unidades cuadradas contenidas en el interior de una figura
perímetro = la suma de las longitudes de los lados del polígono
arista = segmento de recta en el que se intersecan dos caras de un poliedro
vaso =
altura = la longitud de la altitud de una figura
pentágono = un polígono con cinco lados
área de la superficie = la suma de las áreas de todas las caras y superficies laterales de una figura tridimensional
paralelogramo = cuadrilátero en el que ambos pares de lados opuestos son paralelos
triangulo isósceles = un triangulo con dos lados congruentes entre si
triangulo escaleno = un triangulo que no tiene lados congruentes
triangulo acutángulo = un triangulo con tres ángulos agudos
triangulo equilátero = un triangulo con todos sus lados congruentes entre si
triangulo obtusángulo = un triangulo con un ángulo obtuso
hexágono = un polígono con seis lados
Referencia:
www. Wikipedia.com
www. disfrutalasmatematicas.com
Clemens, S (1998). Geometria. Mexico: Adison Wesley Longman
Burrill, G. (2000). Geometria: Integración, apl;ilaciones y conexiones. Colombia:
McGraw-Hill Interamericana S.A
Definiciones:
ángulo = son dos rayos con un vértice en común.
cuadrado = un rectángulo con cuatro lados congruentes.
geometría = es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, como lo son el punto, la recta, el rayo, etc.
punto = elemento geométrico de dimensión cero que se representa gráficamente mediante un punto de tamaño pequeño
recta = se extiende indefinidamente en ambos sentidos y no tiene grosor ni ancho
segmento = parte de una recta que consiste de dos puntos, llamados extremos y de todos los puntos que están entre ellos
triangulo = la unión de tres segmentos determinados por tres puntos no colineales
circulo = el conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia fija de un punto dado en el plano
cuadrilátero = la unión de cuatro segmentos determinados por cuatro puntos de los cuales no hay tres que sean colineales
plano = superficies planas que se extienden indefinidamente en todas direcciones y que no tiene grosor
rayo = línea que tiene principio y no tiene fin
octágono = un polígono con ocho lados
rombo = un paralelogramo con cuatro lados congruentes
trapecio = un cuadrilátero con exactamente un par de lados congruentes
vértice = en donde se unen dos rayos no colineales
polígono = la unión de segmentos que se tocan solo en los extremos
rectas que se cortan = dos rectas con un punto en común
rectas paralelas = rectas en un mismo plano y que no se intersecan
rectas perpendiculares = dos rectas que al intersecarse forman ángulos rectos
ángulo agudo = un ángulo que mide menos de 90 grados
ángulo recto = un ángulo que mide 90 grados
ángulo llano = un ángulo que mide 180 grados
ángulo obtuso = un ángulo que mide mas de 90 grados
ángulos correspondientes = cuando dos líneas son cruzadas por otra línea (a la cual se la conoce como Transversal), los ángulos la misma posición son llamados ángulos correspondientes
ángulos adyacentes = Dos ángulos son Adyacentes si tienen un lado común y un vértice común
ángulos opuestos por el vértice = dos ángulos no adyacentes formados por dos rectas que se intersecan
ángulos alternos internos = dos ángulos interiores con diferentes vértices en lados opuestos de una transversal
ángulos alternos externos = dos ángulos exteriores con diferentes vértices en lados opuestos por una transversal
poliedro = un sólido con lados planos
prisma = un poliedro tal que 1) hay un par de caras congruentes que están en planos paralelos 2) todas las demás caras son paralelogramos
pirámide = un poliedro en el cual todas las caras, menos una, tienen un vértice en común
cubo = cubo es un objeto sólido en forma de caja que tiene seis caras cuadradas idénticas
cono = un objeto sólido que tiene una base circular y un solo vértice
cilindro = un cilindro es un sólido con: 1) dos extremos planos circulares o elípticos idénticos 2) y un lado curvo.
esfera = un objeto tridimensional con la forma de una pelota.
volumen = una medida de la cantidad de espacio que ocupa un sólido, a cada sólido se asigna un numero real positivo único que es su volumen
área = el numero de unidades cuadradas contenidas en el interior de una figura
perímetro = la suma de las longitudes de los lados del polígono
arista = segmento de recta en el que se intersecan dos caras de un poliedro
vaso =
altura = la longitud de la altitud de una figura
pentágono = un polígono con cinco lados
área de la superficie = la suma de las áreas de todas las caras y superficies laterales de una figura tridimensional
paralelogramo = cuadrilátero en el que ambos pares de lados opuestos son paralelos
triangulo isósceles = un triangulo con dos lados congruentes entre si
triangulo escaleno = un triangulo que no tiene lados congruentes
triangulo acutángulo = un triangulo con tres ángulos agudos
triangulo equilátero = un triangulo con todos sus lados congruentes entre si
triangulo obtusángulo = un triangulo con un ángulo obtuso
hexágono = un polígono con seis lados
Referencia:
www. Wikipedia.com
www. disfrutalasmatematicas.com
Clemens, S (1998). Geometria. Mexico: Adison Wesley Longman
Burrill, G. (2000). Geometria: Integración, apl;ilaciones y conexiones. Colombia:
McGraw-Hill Interamericana S.A
jueves, 19 de febrero de 2009
Procesos de Poisson
Universidad Interamericana
Recinto de San Germán
PROCESOS DE POISSON
Probabilidad
Prof. Balbino García
Eileen Rodríguez Hernández
José F. Nieves Méndez
Tabla de Contenido
Introducción
A través de los años, célebres matemáticos han dedicado su vida al descubrimiento e investigación de nuevos métodos matemáticos. Hoy día, nos han legado grandes aportaciones que nos son útiles para el manejo y desarrollo de problemas en los distintos campos de la investigación. En particular, me refiero a Simeón Denis Poisson, quien nos legó una variedad de conceptos relacionados a la ciencia y matemáticas, los cuales llevan su nombre. Para poder honrar su nombre hemos creado este trabajo investigativo el cual se dedicará a la explicación exhaustiva de los Procesos de Poisson.
Dichos procesos buscan calcular la probabilidad de ocurrencia de sucesos cuando ésta es muy pequeña, que tiene gran aplicación en la práctica. En otras palabras, en todo caso en que se quiera saber si un evento va a ocurrir dentro de un intervalo de tiempo dado, se puede buscar la probabilidad de que ocurra si se sabe el promedio de veces que usualmente ocurre. Esto tiene gran utilidad prácticamente en todos los campos de estudio. Por ejemplo, se puede encontrar el número de defectos de una tela por m2, número de bacterias por cm2 de cultivo, número de llamadas telefónica por día, mes, etc. Para concretar el número de éxito de los eventos, hay una variedad de postulados que cargan ciertas restricciones, las cuales se mencionarán más adelante.
Cabe añadir que ha este Proceso de Poisson también se le conoce como la “Ley de los sucesos raros”, ya que busca probabilidades de casos muy remotos, que son parte de nuestro diario vivir. A este tema se le debe añadir un concepto muy famoso en la rama de la probabilidad, que se conoce como la Distribución de Poisson. Con este trabajo esperamos contribuir al legado de Poisson haciéndonos partícipes de todos sus descubrimientos.
Reseña Histórica
Los Procesos de Poisson llevan el nombre del afamado matemático Simeón Dennis Poisson (1781-1840), francés que dedicó la mayor parte de su vida al desarrollo investigativo de la rama de las matemáticas conocida como probabilidad.
“ La vida es trabajo”
Este gran científico no era solo matemático también era físico y astrónomo el cual por ende se le conoce, sobre todo, por sus contribuciones teóricas a la electricidad y al magnetismo, aunque también publicó varias obras sobre otros temas, como el cálculo de variaciones, la geometría diferencial y la teoría de la probabilidad.
Poisson nació el 27 junio de 1781 en Pithiviers. Desafortunadamente para el, este queda huérfano a los 15 años y fue acogido por su tío, cirujano militar en Fontainebleau, quien trató de iniciarle en la profesión. El escaso interés de Poisson por la medicina y el fracaso de sus primera intervención, un fracaso que en consecuencia termina en la muerte del paciente pocas horas después de la cirugía, esto hace que este tome decisiones drásticas en su vida que acaban en el abandono total de la profesión en la medicina y a emprender nuevos caminos hacia el descubrimiento de un nuevo oficio. Ese mismo día de vuelta a su casa este encuentra, entre los papeles de su padre, una copia de las pruebas de ingreso en la Escuela Politécnica que despiertan su interés por las matemáticas y le descubren un mundo que será su futuro con gran éxito.
En la Escuela Politécnica trabajó bajo la influencia del matemático Joseph Louis Lagrange, y en 1802 fue ayudante de Joseph Fourier, cuya cátedra asumió Poisson en 1808. Más tarde fue profesor de mecánica en la Sorbona y un miembro destacado de la sociedad científica francesa. Su primera memoria sobre la electricidad apareció en 1812. En ella adoptó el modelo de los dos fluidos de la electricidad. Mediante la función potencial de Lagrange intentó calcular matemáticamente la distribución de cargas eléctricas sobre la superficie de los conductores. Poisson demostró en 1824 que estas formulaciones se podían aplicar exactamente igual al magnetismo. Fue injustamente acusado por sus contemporáneos de falta de originalidad. También se interesó por la teoría de la elasticidad. En astronomía trabajó fundamentalmente en la matemática del movimiento de la Luna.
Definiciones y propiedades
proceso estocástico – sucesión finita de experimentos, donde cada experimento tiene un número finito de resultados con sus posibilidades dadas.
variable aleatoria discreta- es aquella que asume sus valores de acuerdo a los resultados de un experimento aleatorio. Sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.
variable aleatoria discreta- es aquella en donde el rango de la variable aleatoria x es finito o infinito enumerable.
proceso de Poisson- es un proceso de sucesos independientes donde:
el número de sucesos en dos intervalos disjuntos siempre es independiente,
la probabilidad de que un suceso ocurra en un intervalo es proporcional a la longitud del intervalo,
la probabilidad de que ocurra más de un suceso en un intervalo suficientemente pequeño es despreciable.
distribución de Poisson- Expresa la probabilidad de un número k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una tasa media conocida, y son independientes del tiempo desde el último evento.
e = 2.71828
k = es el número de ocurrencias de un evento
k! = es el factorial de k
λ = promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto
distribución binomial- número de éxitos que ocurren cuando un experimento de Bernoulli se repite n veces en forma independiente.
k = número de éxitos
n = número de pruebas
p = probabilidad de éxitos
experimento Bernoulli – satisface las siguientes condiciones: en cada repetición del experimento hay un éxito o un fracaso, la probabilidad de éxito permanece constante cuando se repite muchas veces el experimento y las repeticiones de los experimentos deben de ser independientes entre sí.
probabilidad discreta -es aquella que puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna característica de interés. Estos Valores pueden ser de varios tipos ya sean finitos o infinitos, numerables o innumerables.
Demostración
En el límite, la fórmula binomial tiende a la fórmula de distribución de Poisson.
Aplicaciones
Los procesos de Poisson tienen mucha aplicabilidad dentro de cualquier rama de investigación ya sea en ciencias o hasta en la economía, es decir, en todo aquello en donde se quiera buscar la cantidad de éxitos que estén expresados por unidad de área, tiempo, longitud, pieza, etc. Se dice que un proceso de Poisson existe si podemos observar eventos discretos en un área de oportunidad, un intervalo continuo, de tal manera que si acortamos el área de oportunidad o intervalo de manera suficiente:
· la probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es estable
· la probabilidad de observar exactamente más de un éxito en el intervalo es 0.
· la ocurrencia de un éxito en cualquier intervalo es estadísticamente independiente de aquella en cualquier otro intervalo.
De esta manera, podemos examinar el siguiente ejemplo. Supongamos que el número de clientes que llegan durante la hora de almuerzo de 12 a 1 p.m. a un banco en particular. Cualquier llegada de un cliente es un evento discreto en un punto en particular sobre el intervalo continuo de una hora. Durante tal intervalo de tiempo puede haber un promedio de 180 llegadas, en donde podemos dividir el intervalo de una hora en 3600 intervalos consecutivos de un segundo. Podemos decir que el promedio esperado de clientes que llegan en cualquier intervalo de segundos es de .05, que la probabilidad de que llegue más de un cliente en cualquier intervalo de un segundo es 0 y que la llegada de un cliente es independiente a la llegada de cualquier otro cliente en cualquier otro intervalo de tiempo. Esto significa que mientras más pequeños son los intervalos te tiempo, se desprecia la posibilidad de que dentro de un intervalo lleguen dos clientes. Esto se hace así para poder aplicar los procesos de Poisson.
Dentro de estos procesos se desprende la distribución de Poisson, en la cual si se conoce la tasa media en que ocurre un evento, se puede calcular la probabilidad de que ocurra un número k de eventos en un tiempo fijo si estos eventos son independientes del tiempo desde el último evento. La distribución de Poisson se utiliza cuando se hacen registros de eventos que se distribuyen al azar en un espacio o tiempo determinado. Puede esperarse que cierto proceso obedezca la ley de Poisson y ante esta suposición se puede calcular la probabilidad de que ese evento se presente en una unidad de tiempo. La distribución de Poisson está dada por la siguiente fórmula: , en donde e = 2.71828, k = es el número de ocurrencias de un evento, k! = es el factorial de k, y λ = promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto.
La distribución de Poisson tiene una propiedad cuyas consecuencias son muy importantes para el Control Estadístico de Procesos. Supongamos que queremos determinar la probabilidad de encontrar una imperfección en tres minutos de una hojalata, en donde se identifican 0.2 imperfecciones por cada minuto. En este ejemplo, se nos provee de antemano el promedio λ = 0.2 imperfecciones por minuto, pero como se nos está hablando de un intervalo de 3 minutos, entonces el promedio es de 0.6 imperfecciones. Ahora bien, se quiere buscar dentro de estos tres minutos una cantidad de éxitos k = 1, por lo que obtengo que la probabilidad está dada por = 0.329287.
Es importante recalcar que la frecuencia de un evento en un intervalo de espacio o tiempo, no tiene efecto sobre la probabilidad de una segunda frecuencia del evento en el mismo intervalo o en cualquier otro.
Otros ejemplos que pueden ser modelados por la distribución Poisson incluyen:
El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semáforos) durante un periodo definido de tiempo.
El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una única página.
El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto.
El número de servidores web accedidos por minuto.
El número de animales muertos encontrados por unidad de longitud de ruta.
El número de mutaciones de determinada cadena de ADN después de cierta cantidad de radiación.
El número de núcleos atómicos inestables que decayeron en un determinado periodo de tiempo en una porción de sustancia radiactiva. La radiactividad de la sustancia se debilitará con el tiempo, por lo tanto el tiempo total del intervalo usado en el modelo debe ser significativamente menor que la vida media de la sustancia.
El número de estrellas en un determinado volumen de espacio.
La distribución de receptores visuales en la retina del ojo humano.
En fin, la distribución de Poisson se aplica para no tan solo para el control del número de defectos en un producto, sino en todo aquel proceso que involucre un intervalo de tiempo, área, producto, etc. Se puede aplicar para calcular la probabilidad de que ocurra x situación si cumplen con los parámetros antes indicados.
Bibliografía
Mark. L. Berenson y David M. Levine, VI. (2002). Estadística básica en administración, conceptos y aplicaciones.University of New York: Pearson Education.
M.G. Kendall y W.R. Auckland. Diccionario de estadística. Pirmide.
Edgar Acuña Fernández, II. (2002). Análisis estadístico de datos usando minitab. Universidad de Puerto Rico recinto de Mayagüez: Wiley Custom Services.
Proceso de Poisson . Enciclopedia virtual Wikipedia: La enciclopedia libre. Recuperado de la web el 2 de febrero de 2009.
http://www.um.es/or/ampliacion/node6.html
Resumen del proceso de Piosson. Recuperado de la web el 3 de febrero de 2009. http://exa.unne.edu.ar/depar/areas/informatica/SistemasOperativos/MonogSO/MODAN00_archivos/RESUMEN%20DEL%20PROCESO%20DE%20POISSON.htm
Recuperado de la web el 3 de febrero de 2009.
http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r10317.DOC
Recinto de San Germán
PROCESOS DE POISSON
Probabilidad
Prof. Balbino García
Eileen Rodríguez Hernández
José F. Nieves Méndez
Tabla de Contenido
Introducción
A través de los años, célebres matemáticos han dedicado su vida al descubrimiento e investigación de nuevos métodos matemáticos. Hoy día, nos han legado grandes aportaciones que nos son útiles para el manejo y desarrollo de problemas en los distintos campos de la investigación. En particular, me refiero a Simeón Denis Poisson, quien nos legó una variedad de conceptos relacionados a la ciencia y matemáticas, los cuales llevan su nombre. Para poder honrar su nombre hemos creado este trabajo investigativo el cual se dedicará a la explicación exhaustiva de los Procesos de Poisson.
Dichos procesos buscan calcular la probabilidad de ocurrencia de sucesos cuando ésta es muy pequeña, que tiene gran aplicación en la práctica. En otras palabras, en todo caso en que se quiera saber si un evento va a ocurrir dentro de un intervalo de tiempo dado, se puede buscar la probabilidad de que ocurra si se sabe el promedio de veces que usualmente ocurre. Esto tiene gran utilidad prácticamente en todos los campos de estudio. Por ejemplo, se puede encontrar el número de defectos de una tela por m2, número de bacterias por cm2 de cultivo, número de llamadas telefónica por día, mes, etc. Para concretar el número de éxito de los eventos, hay una variedad de postulados que cargan ciertas restricciones, las cuales se mencionarán más adelante.
Cabe añadir que ha este Proceso de Poisson también se le conoce como la “Ley de los sucesos raros”, ya que busca probabilidades de casos muy remotos, que son parte de nuestro diario vivir. A este tema se le debe añadir un concepto muy famoso en la rama de la probabilidad, que se conoce como la Distribución de Poisson. Con este trabajo esperamos contribuir al legado de Poisson haciéndonos partícipes de todos sus descubrimientos.
Reseña Histórica
Los Procesos de Poisson llevan el nombre del afamado matemático Simeón Dennis Poisson (1781-1840), francés que dedicó la mayor parte de su vida al desarrollo investigativo de la rama de las matemáticas conocida como probabilidad.
“ La vida es trabajo”
Este gran científico no era solo matemático también era físico y astrónomo el cual por ende se le conoce, sobre todo, por sus contribuciones teóricas a la electricidad y al magnetismo, aunque también publicó varias obras sobre otros temas, como el cálculo de variaciones, la geometría diferencial y la teoría de la probabilidad.
Poisson nació el 27 junio de 1781 en Pithiviers. Desafortunadamente para el, este queda huérfano a los 15 años y fue acogido por su tío, cirujano militar en Fontainebleau, quien trató de iniciarle en la profesión. El escaso interés de Poisson por la medicina y el fracaso de sus primera intervención, un fracaso que en consecuencia termina en la muerte del paciente pocas horas después de la cirugía, esto hace que este tome decisiones drásticas en su vida que acaban en el abandono total de la profesión en la medicina y a emprender nuevos caminos hacia el descubrimiento de un nuevo oficio. Ese mismo día de vuelta a su casa este encuentra, entre los papeles de su padre, una copia de las pruebas de ingreso en la Escuela Politécnica que despiertan su interés por las matemáticas y le descubren un mundo que será su futuro con gran éxito.
En la Escuela Politécnica trabajó bajo la influencia del matemático Joseph Louis Lagrange, y en 1802 fue ayudante de Joseph Fourier, cuya cátedra asumió Poisson en 1808. Más tarde fue profesor de mecánica en la Sorbona y un miembro destacado de la sociedad científica francesa. Su primera memoria sobre la electricidad apareció en 1812. En ella adoptó el modelo de los dos fluidos de la electricidad. Mediante la función potencial de Lagrange intentó calcular matemáticamente la distribución de cargas eléctricas sobre la superficie de los conductores. Poisson demostró en 1824 que estas formulaciones se podían aplicar exactamente igual al magnetismo. Fue injustamente acusado por sus contemporáneos de falta de originalidad. También se interesó por la teoría de la elasticidad. En astronomía trabajó fundamentalmente en la matemática del movimiento de la Luna.
Definiciones y propiedades
proceso estocástico – sucesión finita de experimentos, donde cada experimento tiene un número finito de resultados con sus posibilidades dadas.
variable aleatoria discreta- es aquella que asume sus valores de acuerdo a los resultados de un experimento aleatorio. Sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.
variable aleatoria discreta- es aquella en donde el rango de la variable aleatoria x es finito o infinito enumerable.
proceso de Poisson- es un proceso de sucesos independientes donde:
el número de sucesos en dos intervalos disjuntos siempre es independiente,
la probabilidad de que un suceso ocurra en un intervalo es proporcional a la longitud del intervalo,
la probabilidad de que ocurra más de un suceso en un intervalo suficientemente pequeño es despreciable.
distribución de Poisson- Expresa la probabilidad de un número k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una tasa media conocida, y son independientes del tiempo desde el último evento.
e = 2.71828
k = es el número de ocurrencias de un evento
k! = es el factorial de k
λ = promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto
distribución binomial- número de éxitos que ocurren cuando un experimento de Bernoulli se repite n veces en forma independiente.
k = número de éxitos
n = número de pruebas
p = probabilidad de éxitos
experimento Bernoulli – satisface las siguientes condiciones: en cada repetición del experimento hay un éxito o un fracaso, la probabilidad de éxito permanece constante cuando se repite muchas veces el experimento y las repeticiones de los experimentos deben de ser independientes entre sí.
probabilidad discreta -es aquella que puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna característica de interés. Estos Valores pueden ser de varios tipos ya sean finitos o infinitos, numerables o innumerables.
Demostración
En el límite, la fórmula binomial tiende a la fórmula de distribución de Poisson.
Aplicaciones
Los procesos de Poisson tienen mucha aplicabilidad dentro de cualquier rama de investigación ya sea en ciencias o hasta en la economía, es decir, en todo aquello en donde se quiera buscar la cantidad de éxitos que estén expresados por unidad de área, tiempo, longitud, pieza, etc. Se dice que un proceso de Poisson existe si podemos observar eventos discretos en un área de oportunidad, un intervalo continuo, de tal manera que si acortamos el área de oportunidad o intervalo de manera suficiente:
· la probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es estable
· la probabilidad de observar exactamente más de un éxito en el intervalo es 0.
· la ocurrencia de un éxito en cualquier intervalo es estadísticamente independiente de aquella en cualquier otro intervalo.
De esta manera, podemos examinar el siguiente ejemplo. Supongamos que el número de clientes que llegan durante la hora de almuerzo de 12 a 1 p.m. a un banco en particular. Cualquier llegada de un cliente es un evento discreto en un punto en particular sobre el intervalo continuo de una hora. Durante tal intervalo de tiempo puede haber un promedio de 180 llegadas, en donde podemos dividir el intervalo de una hora en 3600 intervalos consecutivos de un segundo. Podemos decir que el promedio esperado de clientes que llegan en cualquier intervalo de segundos es de .05, que la probabilidad de que llegue más de un cliente en cualquier intervalo de un segundo es 0 y que la llegada de un cliente es independiente a la llegada de cualquier otro cliente en cualquier otro intervalo de tiempo. Esto significa que mientras más pequeños son los intervalos te tiempo, se desprecia la posibilidad de que dentro de un intervalo lleguen dos clientes. Esto se hace así para poder aplicar los procesos de Poisson.
Dentro de estos procesos se desprende la distribución de Poisson, en la cual si se conoce la tasa media en que ocurre un evento, se puede calcular la probabilidad de que ocurra un número k de eventos en un tiempo fijo si estos eventos son independientes del tiempo desde el último evento. La distribución de Poisson se utiliza cuando se hacen registros de eventos que se distribuyen al azar en un espacio o tiempo determinado. Puede esperarse que cierto proceso obedezca la ley de Poisson y ante esta suposición se puede calcular la probabilidad de que ese evento se presente en una unidad de tiempo. La distribución de Poisson está dada por la siguiente fórmula: , en donde e = 2.71828, k = es el número de ocurrencias de un evento, k! = es el factorial de k, y λ = promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto.
La distribución de Poisson tiene una propiedad cuyas consecuencias son muy importantes para el Control Estadístico de Procesos. Supongamos que queremos determinar la probabilidad de encontrar una imperfección en tres minutos de una hojalata, en donde se identifican 0.2 imperfecciones por cada minuto. En este ejemplo, se nos provee de antemano el promedio λ = 0.2 imperfecciones por minuto, pero como se nos está hablando de un intervalo de 3 minutos, entonces el promedio es de 0.6 imperfecciones. Ahora bien, se quiere buscar dentro de estos tres minutos una cantidad de éxitos k = 1, por lo que obtengo que la probabilidad está dada por = 0.329287.
Es importante recalcar que la frecuencia de un evento en un intervalo de espacio o tiempo, no tiene efecto sobre la probabilidad de una segunda frecuencia del evento en el mismo intervalo o en cualquier otro.
Otros ejemplos que pueden ser modelados por la distribución Poisson incluyen:
El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semáforos) durante un periodo definido de tiempo.
El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una única página.
El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto.
El número de servidores web accedidos por minuto.
El número de animales muertos encontrados por unidad de longitud de ruta.
El número de mutaciones de determinada cadena de ADN después de cierta cantidad de radiación.
El número de núcleos atómicos inestables que decayeron en un determinado periodo de tiempo en una porción de sustancia radiactiva. La radiactividad de la sustancia se debilitará con el tiempo, por lo tanto el tiempo total del intervalo usado en el modelo debe ser significativamente menor que la vida media de la sustancia.
El número de estrellas en un determinado volumen de espacio.
La distribución de receptores visuales en la retina del ojo humano.
En fin, la distribución de Poisson se aplica para no tan solo para el control del número de defectos en un producto, sino en todo aquel proceso que involucre un intervalo de tiempo, área, producto, etc. Se puede aplicar para calcular la probabilidad de que ocurra x situación si cumplen con los parámetros antes indicados.
Bibliografía
Mark. L. Berenson y David M. Levine, VI. (2002). Estadística básica en administración, conceptos y aplicaciones.University of New York: Pearson Education.
M.G. Kendall y W.R. Auckland. Diccionario de estadística. Pirmide.
Edgar Acuña Fernández, II. (2002). Análisis estadístico de datos usando minitab. Universidad de Puerto Rico recinto de Mayagüez: Wiley Custom Services.
Proceso de Poisson . Enciclopedia virtual Wikipedia: La enciclopedia libre. Recuperado de la web el 2 de febrero de 2009.
http://www.um.es/or/ampliacion/node6.html
Resumen del proceso de Piosson. Recuperado de la web el 3 de febrero de 2009. http://exa.unne.edu.ar/depar/areas/informatica/SistemasOperativos/MonogSO/MODAN00_archivos/RESUMEN%20DEL%20PROCESO%20DE%20POISSON.htm
Recuperado de la web el 3 de febrero de 2009.
http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r10317.DOC
martes, 10 de febrero de 2009
Probabilidad
Probabilidad
¿Por casualidad, en algún momento de tu vida te ha ocurrido alguna situación similar a esta? Te levantas en la mañana y cuando estas escuchando la prensa, en la televisión o en la radio, te enteras que va a llover porque la probabilidad de lluvia en la tarde de hoy es de un 85%. En el momento que escuchas esa noticia vas al patio y cuando elevas la vista al cielo te das cuenta que nunca habías visto un sol tan brillante y un cielo tan despejado. Lo primero que pasa por tu mente es que en las noticias se tuvieron que haber equivocado al momento de dar el pronóstico del tiempo y piensas que como es posible que vaya a llover si hacia tiempo que no observabas un día tan soleado. Luego al llegar la tarde te percatas que en esta ocasión ni siquiera puedes tener la oportunidad de salir al patio por el diluvio que cae sobre la región en donde vives. Cuando recuerdas el noticiero de la mañana lo que le dices a las personas que conoces es que los de las noticias la pegaron, dijeron que iba a llover y eso mismo fue lo que pasó.
En este momento déjame decirte que no fue que la pegaron. La razón por la cual dijeron que iba a llover y llovió fue porque había un 85% de probabilidad de que eso era exactamente lo que iba a ocurrir. A través de la historia se ha podido señalar varios factores o razones para la cual se utiliza la probabilidad. Hay momentos en que la probabilidad se utiliza para fines informativos dirigidos a la sociedad, como el ejemplo que acabamos de ver; mientras que hay ocasiones en que se utiliza con fines lucrativos hacia algunas personas en específico. Estas son algunas de muchas razones para la cual se utiliza y para la cual se inventó la probabilidad.
El concepto de la probabilidad tiene su origen en un momento en donde se jugaba un juego al azar. Este juego al azar no fue otro nada más que el juego de dados. Para el principio del siglo XVII se realizó el primer intento de desarrollar una teoría de probabilidad el cual fue conducido por el matemático, Gerolamo Cardano. Pero lo que realmente fomentó el entusiasmo para el estudio de la probabilidad fueron unas cartas de correspondencia entre dos personas, Fermat y Pascal. En estas cartas, se trataba de resolver preguntas relacionadas a los juegos de azar. Esta correspondencia comenzó cuando Fermat fue consultado por Pascal sobre un problema que le había dado una tercera persona llamada Chevalier de Meré. Este era un conocido escritor, que formada parte, en aquel tiempo, de la corte del rey Luis XIV y aparte de eso era un ardiente apostador. Uno de los problemas que se planteaban en estas cartas era relacionado a los dados y el otro problema era relacionado a la repartición justa de ganancia en una serie cuando ésta por alguna razón no se completaba. Este ardiente apostador trataba de buscar la manera de cómo podía siempre tener ganancias en el juego de dados haciendo uso de la probabilidad.
Las ganancias que se pueden obtener haciendo uso de la probabilidad no solo se miden en un juego de dados. La mayoría de las entidades lucrativas son grandes corporaciones las cuales están controladas por grandes empresarios. Varios ejemplos de estas entidades lucrativas lo son desde los grandes grupos de casinos hasta las grandes oficinas de seguros. Los casinos utilizan la probabilidad para poder descifrar las oportunidades que tiene cada persona de ganar o perder sus apuestas en el juego de azar y de tal manera el casino pude descifrar de cuanto más o cuanto menos pueden ser sus ganancias. La palabra apuesta es una muy importante en este caso ya que los casinos controlan la cantidad de apuestas que hace una persona para que de esa manera el casino nunca tenga pérdidas de su dinero. Los seguros, a diferencias de los casinos, no se dejan llevar por apuestas para controlar su sistema de ganancias. Estos recopilan toda la información de su cliente, pasatiempos, lugar de trabajo, historial médico y otros datos importantes de su persona y vida social. Al momento de obtener la información necesaria estos utilizan la probabilidad para poder calcular lo mucho o poco probable que seria el que su cliente sufriera algún daño en algún accidente o por alguna enfermedad y el seguro lo tuviera que compensar monetariamente. Por tal razón utilizando esta probabilidad es que el seguro le asigna al asegurado la cantidad que le tocaría pagar anualmente y la compensación que este estaría recibiendo en caso de un accidente. De esa manera el seguro nunca tendría pérdidas monetarias y solo muchas o pocas ganancias. No solo las compañías aseguradoras y los casinos son los que se benefician haciendo uso de la probabilidad también se beneficia en gran medida la sociedad.
Hoy día la sociedad goza de un tesoro bien preciado y este se llama la tecnología. Con el uso de la televisión, radio y computadora podemos mantenernos informados sobre todos los acontecimientos que han ocurrido y sobre los que puedan ocurrir en un futuro de un momento a otro. Los medios informativos utilizan mucho la probabilidad para poder llevar a cabo un pronóstico sobre lo que va a suceder en el futuro. En la mayoría de los casos estos pronósticos se utilizan haciendo referencia a casos ambientales, ya sea para pronosticar la ruta de trayectoria de un huracán, en el momento en que un volcán logrará hacer erupción o hasta el momento en que ocurriría un terremoto. La probabilidad también se utiliza mucho en el área de deportes ya que, al mantener un estudio estadístico sobre los jugadores o hasta de los equipos, se puede conocer cual es el promedio de anotaciones que lleva cada jugador y cual es el promedio de ganadas que lleva un equipo en especifico o peor aún el promedio de perdidas. Para estos casos no solo se puede sacar las ganadas o perdidas de los equipos, también se puede conocer cual o cuales son las condiciones que hacen que esto sea posible. En tiempos de elecciones para los medios noticiosos el tema preferido es la probabilidad, ya que se comienza a descifrar la probabilidad para que gane un candidato u otro. Los candidatos utilizan estas estadísticas para promocionar su partido de preferencia.
La probabilidad se puede observar y utilizar en muchas o en todas las situaciones de nuestra vida cotidiana. Esto se creó con la misión de mejorar nuestra vida común y nuestra toma de decisiones, ya sea esta utilizada para bien o para mal. La semejanza de las entidades lucrativas, como los casinos y las agencias aseguradas, es que utilizan la probabilidad para nunca poder tener pérdidas monetarias en sus negocios. Mientras que cuando se utiliza para medios informativos para explicarnos todas estas situaciones que ocurren a nuestro alrededor hace que tengamos una mejor calidad de vida. Se podría decir que la probabilidad es uno de los grandes inventos de la humanidad ya que esta se puede moldear a cualquier vivencia cotidiana.
¿Por casualidad, en algún momento de tu vida te ha ocurrido alguna situación similar a esta? Te levantas en la mañana y cuando estas escuchando la prensa, en la televisión o en la radio, te enteras que va a llover porque la probabilidad de lluvia en la tarde de hoy es de un 85%. En el momento que escuchas esa noticia vas al patio y cuando elevas la vista al cielo te das cuenta que nunca habías visto un sol tan brillante y un cielo tan despejado. Lo primero que pasa por tu mente es que en las noticias se tuvieron que haber equivocado al momento de dar el pronóstico del tiempo y piensas que como es posible que vaya a llover si hacia tiempo que no observabas un día tan soleado. Luego al llegar la tarde te percatas que en esta ocasión ni siquiera puedes tener la oportunidad de salir al patio por el diluvio que cae sobre la región en donde vives. Cuando recuerdas el noticiero de la mañana lo que le dices a las personas que conoces es que los de las noticias la pegaron, dijeron que iba a llover y eso mismo fue lo que pasó.
En este momento déjame decirte que no fue que la pegaron. La razón por la cual dijeron que iba a llover y llovió fue porque había un 85% de probabilidad de que eso era exactamente lo que iba a ocurrir. A través de la historia se ha podido señalar varios factores o razones para la cual se utiliza la probabilidad. Hay momentos en que la probabilidad se utiliza para fines informativos dirigidos a la sociedad, como el ejemplo que acabamos de ver; mientras que hay ocasiones en que se utiliza con fines lucrativos hacia algunas personas en específico. Estas son algunas de muchas razones para la cual se utiliza y para la cual se inventó la probabilidad.
El concepto de la probabilidad tiene su origen en un momento en donde se jugaba un juego al azar. Este juego al azar no fue otro nada más que el juego de dados. Para el principio del siglo XVII se realizó el primer intento de desarrollar una teoría de probabilidad el cual fue conducido por el matemático, Gerolamo Cardano. Pero lo que realmente fomentó el entusiasmo para el estudio de la probabilidad fueron unas cartas de correspondencia entre dos personas, Fermat y Pascal. En estas cartas, se trataba de resolver preguntas relacionadas a los juegos de azar. Esta correspondencia comenzó cuando Fermat fue consultado por Pascal sobre un problema que le había dado una tercera persona llamada Chevalier de Meré. Este era un conocido escritor, que formada parte, en aquel tiempo, de la corte del rey Luis XIV y aparte de eso era un ardiente apostador. Uno de los problemas que se planteaban en estas cartas era relacionado a los dados y el otro problema era relacionado a la repartición justa de ganancia en una serie cuando ésta por alguna razón no se completaba. Este ardiente apostador trataba de buscar la manera de cómo podía siempre tener ganancias en el juego de dados haciendo uso de la probabilidad.
Las ganancias que se pueden obtener haciendo uso de la probabilidad no solo se miden en un juego de dados. La mayoría de las entidades lucrativas son grandes corporaciones las cuales están controladas por grandes empresarios. Varios ejemplos de estas entidades lucrativas lo son desde los grandes grupos de casinos hasta las grandes oficinas de seguros. Los casinos utilizan la probabilidad para poder descifrar las oportunidades que tiene cada persona de ganar o perder sus apuestas en el juego de azar y de tal manera el casino pude descifrar de cuanto más o cuanto menos pueden ser sus ganancias. La palabra apuesta es una muy importante en este caso ya que los casinos controlan la cantidad de apuestas que hace una persona para que de esa manera el casino nunca tenga pérdidas de su dinero. Los seguros, a diferencias de los casinos, no se dejan llevar por apuestas para controlar su sistema de ganancias. Estos recopilan toda la información de su cliente, pasatiempos, lugar de trabajo, historial médico y otros datos importantes de su persona y vida social. Al momento de obtener la información necesaria estos utilizan la probabilidad para poder calcular lo mucho o poco probable que seria el que su cliente sufriera algún daño en algún accidente o por alguna enfermedad y el seguro lo tuviera que compensar monetariamente. Por tal razón utilizando esta probabilidad es que el seguro le asigna al asegurado la cantidad que le tocaría pagar anualmente y la compensación que este estaría recibiendo en caso de un accidente. De esa manera el seguro nunca tendría pérdidas monetarias y solo muchas o pocas ganancias. No solo las compañías aseguradoras y los casinos son los que se benefician haciendo uso de la probabilidad también se beneficia en gran medida la sociedad.
Hoy día la sociedad goza de un tesoro bien preciado y este se llama la tecnología. Con el uso de la televisión, radio y computadora podemos mantenernos informados sobre todos los acontecimientos que han ocurrido y sobre los que puedan ocurrir en un futuro de un momento a otro. Los medios informativos utilizan mucho la probabilidad para poder llevar a cabo un pronóstico sobre lo que va a suceder en el futuro. En la mayoría de los casos estos pronósticos se utilizan haciendo referencia a casos ambientales, ya sea para pronosticar la ruta de trayectoria de un huracán, en el momento en que un volcán logrará hacer erupción o hasta el momento en que ocurriría un terremoto. La probabilidad también se utiliza mucho en el área de deportes ya que, al mantener un estudio estadístico sobre los jugadores o hasta de los equipos, se puede conocer cual es el promedio de anotaciones que lleva cada jugador y cual es el promedio de ganadas que lleva un equipo en especifico o peor aún el promedio de perdidas. Para estos casos no solo se puede sacar las ganadas o perdidas de los equipos, también se puede conocer cual o cuales son las condiciones que hacen que esto sea posible. En tiempos de elecciones para los medios noticiosos el tema preferido es la probabilidad, ya que se comienza a descifrar la probabilidad para que gane un candidato u otro. Los candidatos utilizan estas estadísticas para promocionar su partido de preferencia.
La probabilidad se puede observar y utilizar en muchas o en todas las situaciones de nuestra vida cotidiana. Esto se creó con la misión de mejorar nuestra vida común y nuestra toma de decisiones, ya sea esta utilizada para bien o para mal. La semejanza de las entidades lucrativas, como los casinos y las agencias aseguradas, es que utilizan la probabilidad para nunca poder tener pérdidas monetarias en sus negocios. Mientras que cuando se utiliza para medios informativos para explicarnos todas estas situaciones que ocurren a nuestro alrededor hace que tengamos una mejor calidad de vida. Se podría decir que la probabilidad es uno de los grandes inventos de la humanidad ya que esta se puede moldear a cualquier vivencia cotidiana.
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