Procesos de Poisson

Universidad Interamericana
Recinto de San Germán








PROCESOS DE POISSON








Probabilidad
Prof. Balbino García

Eileen Rodríguez Hernández
José F. Nieves Méndez
Tabla de Contenido


Introducción

A través de los años, célebres matemáticos han dedicado su vida al descubrimiento e investigación de nuevos métodos matemáticos. Hoy día, nos han legado grandes aportaciones que nos son útiles para el manejo y desarrollo de problemas en los distintos campos de la investigación. En particular, me refiero a Simeón Denis Poisson, quien nos legó una variedad de conceptos relacionados a la ciencia y matemáticas, los cuales llevan su nombre. Para poder honrar su nombre hemos creado este trabajo investigativo el cual se dedicará a la explicación exhaustiva de los Procesos de Poisson.
Dichos procesos buscan calcular la probabilidad de ocurrencia de sucesos cuando ésta es muy pequeña, que tiene gran aplicación en la práctica. En otras palabras, en todo caso en que se quiera saber si un evento va a ocurrir dentro de un intervalo de tiempo dado, se puede buscar la probabilidad de que ocurra si se sabe el promedio de veces que usualmente ocurre. Esto tiene gran utilidad prácticamente en todos los campos de estudio. Por ejemplo, se puede encontrar el número de defectos de una tela por m2, número de bacterias por cm2 de cultivo, número de llamadas telefónica por día, mes, etc. Para concretar el número de éxito de los eventos, hay una variedad de postulados que cargan ciertas restricciones, las cuales se mencionarán más adelante.
Cabe añadir que ha este Proceso de Poisson también se le conoce como la “Ley de los sucesos raros”, ya que busca probabilidades de casos muy remotos, que son parte de nuestro diario vivir. A este tema se le debe añadir un concepto muy famoso en la rama de la probabilidad, que se conoce como la Distribución de Poisson. Con este trabajo esperamos contribuir al legado de Poisson haciéndonos partícipes de todos sus descubrimientos.

Reseña Histórica





Los Procesos de Poisson llevan el nombre del afamado matemático Simeón Dennis Poisson (1781-1840), francés que dedicó la mayor parte de su vida al desarrollo investigativo de la rama de las matemáticas conocida como probabilidad.
“ La vida es trabajo”
Este gran científico no era solo matemático también era físico y astrónomo el cual por ende se le conoce, sobre todo, por sus contribuciones teóricas a la electricidad y al magnetismo, aunque también publicó varias obras sobre otros temas, como el cálculo de variaciones, la geometría diferencial y la teoría de la probabilidad.
Poisson nació el 27 junio de 1781 en Pithiviers. Desafortunadamente para el, este queda huérfano a los 15 años y fue acogido por su tío, cirujano militar en Fontainebleau, quien trató de iniciarle en la profesión. El escaso interés de Poisson por la medicina y el fracaso de sus primera intervención, un fracaso que en consecuencia termina en la muerte del paciente pocas horas después de la cirugía, esto hace que este tome decisiones drásticas en su vida que acaban en el abandono total de la profesión en la medicina y a emprender nuevos caminos hacia el descubrimiento de un nuevo oficio. Ese mismo día de vuelta a su casa este encuentra, entre los papeles de su padre, una copia de las pruebas de ingreso en la Escuela Politécnica que despiertan su interés por las matemáticas y le descubren un mundo que será su futuro con gran éxito.
En la Escuela Politécnica trabajó bajo la influencia del matemático Joseph Louis Lagrange, y en 1802 fue ayudante de Joseph Fourier, cuya cátedra asumió Poisson en 1808. Más tarde fue profesor de mecánica en la Sorbona y un miembro destacado de la sociedad científica francesa. Su primera memoria sobre la electricidad apareció en 1812. En ella adoptó el modelo de los dos fluidos de la electricidad. Mediante la función potencial de Lagrange intentó calcular matemáticamente la distribución de cargas eléctricas sobre la superficie de los conductores. Poisson demostró en 1824 que estas formulaciones se podían aplicar exactamente igual al magnetismo. Fue injustamente acusado por sus contemporáneos de falta de originalidad. También se interesó por la teoría de la elasticidad. En astronomía trabajó fundamentalmente en la matemática del movimiento de la Luna.










Definiciones y propiedades

proceso estocástico – sucesión finita de experimentos, donde cada experimento tiene un número finito de resultados con sus posibilidades dadas.

variable aleatoria discreta- es aquella que asume sus valores de acuerdo a los resultados de un experimento aleatorio. Sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.

variable aleatoria discreta- es aquella en donde el rango de la variable aleatoria x es finito o infinito enumerable.

proceso de Poisson- es un proceso de sucesos independientes donde:
el número de sucesos en dos intervalos disjuntos siempre es independiente,
la probabilidad de que un suceso ocurra en un intervalo es proporcional a la longitud del intervalo,
la probabilidad de que ocurra más de un suceso en un intervalo suficientemente pequeño es despreciable.

distribución de Poisson- Expresa la probabilidad de un número k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una tasa media conocida, y son independientes del tiempo desde el último evento.


e = 2.71828
k = es el número de ocurrencias de un evento
k! = es el factorial de k
λ = promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto

distribución binomial- número de éxitos que ocurren cuando un experimento de Bernoulli se repite n veces en forma independiente.
k = número de éxitos
n = número de pruebas
p = probabilidad de éxitos

experimento Bernoulli – satisface las siguientes condiciones: en cada repetición del experimento hay un éxito o un fracaso, la probabilidad de éxito permanece constante cuando se repite muchas veces el experimento y las repeticiones de los experimentos deben de ser independientes entre sí.

probabilidad discreta -es aquella que puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna característica de interés. Estos Valores pueden ser de varios tipos ya sean finitos o infinitos, numerables o innumerables.

Demostración
En el límite, la fórmula binomial tiende a la fórmula de distribución de Poisson.













Aplicaciones

Los procesos de Poisson tienen mucha aplicabilidad dentro de cualquier rama de investigación ya sea en ciencias o hasta en la economía, es decir, en todo aquello en donde se quiera buscar la cantidad de éxitos que estén expresados por unidad de área, tiempo, longitud, pieza, etc. Se dice que un proceso de Poisson existe si podemos observar eventos discretos en un área de oportunidad, un intervalo continuo, de tal manera que si acortamos el área de oportunidad o intervalo de manera suficiente:
· la probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es estable
· la probabilidad de observar exactamente más de un éxito en el intervalo es 0.
· la ocurrencia de un éxito en cualquier intervalo es estadísticamente independiente de aquella en cualquier otro intervalo.
De esta manera, podemos examinar el siguiente ejemplo. Supongamos que el número de clientes que llegan durante la hora de almuerzo de 12 a 1 p.m. a un banco en particular. Cualquier llegada de un cliente es un evento discreto en un punto en particular sobre el intervalo continuo de una hora. Durante tal intervalo de tiempo puede haber un promedio de 180 llegadas, en donde podemos dividir el intervalo de una hora en 3600 intervalos consecutivos de un segundo. Podemos decir que el promedio esperado de clientes que llegan en cualquier intervalo de segundos es de .05, que la probabilidad de que llegue más de un cliente en cualquier intervalo de un segundo es 0 y que la llegada de un cliente es independiente a la llegada de cualquier otro cliente en cualquier otro intervalo de tiempo. Esto significa que mientras más pequeños son los intervalos te tiempo, se desprecia la posibilidad de que dentro de un intervalo lleguen dos clientes. Esto se hace así para poder aplicar los procesos de Poisson.
Dentro de estos procesos se desprende la distribución de Poisson, en la cual si se conoce la tasa media en que ocurre un evento, se puede calcular la probabilidad de que ocurra un número k de eventos en un tiempo fijo si estos eventos son independientes del tiempo desde el último evento. La distribución de Poisson se utiliza cuando se hacen registros de eventos que se distribuyen al azar en un espacio o tiempo determinado. Puede esperarse que cierto proceso obedezca la ley de Poisson y ante esta suposición se puede calcular la probabilidad de que ese evento se presente en una unidad de tiempo. La distribución de Poisson está dada por la siguiente fórmula: , en donde e = 2.71828, k = es el número de ocurrencias de un evento, k! = es el factorial de k, y λ = promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto.
La distribución de Poisson tiene una propiedad cuyas consecuencias son muy importantes para el Control Estadístico de Procesos. Supongamos que queremos determinar la probabilidad de encontrar una imperfección en tres minutos de una hojalata, en donde se identifican 0.2 imperfecciones por cada minuto. En este ejemplo, se nos provee de antemano el promedio λ = 0.2 imperfecciones por minuto, pero como se nos está hablando de un intervalo de 3 minutos, entonces el promedio es de 0.6 imperfecciones. Ahora bien, se quiere buscar dentro de estos tres minutos una cantidad de éxitos k = 1, por lo que obtengo que la probabilidad está dada por = 0.329287.
Es importante recalcar que la frecuencia de un evento en un intervalo de espacio o tiempo, no tiene efecto sobre la probabilidad de una segunda frecuencia del evento en el mismo intervalo o en cualquier otro.
Otros ejemplos que pueden ser modelados por la distribución Poisson incluyen:
El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semáforos) durante un periodo definido de tiempo.
El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una única página.
El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto.
El número de servidores web accedidos por minuto.
El número de animales muertos encontrados por unidad de longitud de ruta.
El número de mutaciones de determinada cadena de ADN después de cierta cantidad de radiación.
El número de núcleos atómicos inestables que decayeron en un determinado periodo de tiempo en una porción de sustancia radiactiva. La radiactividad de la sustancia se debilitará con el tiempo, por lo tanto el tiempo total del intervalo usado en el modelo debe ser significativamente menor que la vida media de la sustancia.
El número de estrellas en un determinado volumen de espacio.
La distribución de receptores visuales en la retina del ojo humano.
En fin, la distribución de Poisson se aplica para no tan solo para el control del número de defectos en un producto, sino en todo aquel proceso que involucre un intervalo de tiempo, área, producto, etc. Se puede aplicar para calcular la probabilidad de que ocurra x situación si cumplen con los parámetros antes indicados.



Bibliografía

Mark. L. Berenson y David M. Levine, VI. (2002). Estadística básica en administración, conceptos y aplicaciones.University of New York: Pearson Education.

M.G. Kendall y W.R. Auckland. Diccionario de estadística. Pirmide.

Edgar Acuña Fernández, II. (2002). Análisis estadístico de datos usando minitab. Universidad de Puerto Rico recinto de Mayagüez: Wiley Custom Services.

Proceso de Poisson . Enciclopedia virtual Wikipedia: La enciclopedia libre. Recuperado de la web el 2 de febrero de 2009.
http://www.um.es/or/ampliacion/node6.html

Resumen del proceso de Piosson. Recuperado de la web el 3 de febrero de 2009. http://exa.unne.edu.ar/depar/areas/informatica/SistemasOperativos/MonogSO/MODAN00_archivos/RESUMEN%20DEL%20PROCESO%20DE%20POISSON.htm

Recuperado de la web el 3 de febrero de 2009.
http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r10317.DOC